Методы оптимизации и планирования.

1. Глава 10 Методы оптимизации и планирования.
2. 10.1 Классическая постановка задачи оптимизации
3. 10.2. Классификация задач оптимизации
4. 10.3 Многокритериальная оптимизация

Глава 10 Методы оптимизации и планирования.

Методы оптимизации широко применяются для решения задач теории оптимальных процессов, оптимального регулирования, выработки к е рувальних возмущений на объекты. Без разработки и применения методов оптимизации невозможно управления ректификационной колонны в спиртовой промышленности, установками крекинга нефти, конверторами при производстве стали и др. К транспортных задач и задачи коммивояжера сводятся многие задачи экономической кибернетики (сетевое планирование, управление запасами, перевозками и др.), Управление организацией производства (распределение задач, обработка деталей, конвейерное производство) и задачи оптимального программирования. Отдельная группа задач теории оптимизации - это задачи оптимального проектирования. Например, задачи проектирования радиоэлектронных средств с заданными ограничениями на уровень шума и полосу пропускания или показателями надежности в условиях старения.

10.1 Классическая постановка задачи оптимизации

Обычная постановка задачи оптимизации такова: в некотором пространстве тем или иным способом выделяется некоторое непустое множество точек этого пространства, которую называют допустимой множеством. Далее фиксируется некоторая действительная функция , Заданной во всех точках допустимого множества. Она называется целевой функцией. Задача оптимизации заключается в том, чтобы найти точку во множественном числе , Для которой функция принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение. В первом случае для всех точек множества удовлетворяется неравенство , Во втором случае - неравенство .

В практических задачах возможны две основные постановки оптимизационных задач. В первом случае задача рассматривается в обычном (евклидовом) пространстве конечной размерности. точками допустимого множества будут кортежи действительных чисел, целевой же функцией будет обычная действительная функция от действительных аргументов ( в - размерность пространства). Такую задачу мы будем называть в дальнейшем задачей оптимизации функций. Во втором случае постановки оптимизационной задачи в качестве допустимой множества выступает некоторое множество функций действительных переменных , А целевой функцией является некоторый функционал , Который ставит в соответствие каждой функции некоторое действительное число . Эту задачу мы будем называть задачей оптимизации функционалов или вариационной задачей.

10.2. Классификация задач оптимизации

Прежде всего надо разделять задачи параметрической и структурной оптимизации.

Параметрическая оптимизация является предметом рассматриваемого в этом разделе, где приведены постановка такой задачи и методы ее решения. Структурная оптимизация - это задача синтеза оптимальной структуры системы, причем изменение структур и преобразования одной структуры в другую осуществляется по специальному алгоритму синтеза. Параметрическая оптимизация объединяет много различных задач, имеют свои собственные особенности и методы решения.

Классификацию задач приведен на рисунке 5.1.

К этому надо добавить некоторое комментарий:

1. Если существует несколько целевых функций, то имеет место задача векторной оптимизации.

2. Если количество параметров , Управляемые, больше чем один, то решается задача многомерной оптимизации.

3. Если существуют ограничения и условия, связывающие параметры , То возникает задача оптимизации с условиями, которая в кибернетике получила название математического программирования.

4. Математическое программирование объединяет задачи нелинейного программирования (целевая функция в общем случае нелинейная), стохастического программирования (параметры - случайная величина, а целевая функция - случайная функция), динамического программирования (оптимизация многошаговых процессов поиска решения).

5. Если параметры, руководствуются, принимают только дискретные значения, то возникает задача дискретной оптимизации, а если - целые числа, то - задача целочисленного программирования.

6. В случае, когда целевая функция выпуклая, та область, где заданные Тоже выпуклая, то имеет место задача выпуклого программирования. Если целевая функция и условия линейные-линейного (кусочно-линейного) программирования; целевая функция квадратичная, а условия линейные-квадратичного программирования; целевая функция и условия - линейные комбинации функций одной переменной - сепарабельного программирования; целевая функция и условия представлены в виде полиномов - геометрического программирования.

10.3 Многокритериальная оптимизация

На практике часто возникает случай, когда вместо одной целевой функции задано несколько целевых функций . Такая задача многокритериальной оптимизации имеет несколько постановок. В одной из них нужно оптимизировать один из критериев, допустим, , Причем остальные критериев удерживают в заданных пределах: . В этом случае фактически речь идет об обычной многокритериальную оптимизацию. Что касается неровностей, которые ограничивают другие критерии, то их можно рассматривать как дополнительные ограничения на допустимую область .

Рисунок 5.1 - Классификация задач оптимизации

Во втором случае постановка заключается в составлении заданного множества критериев и последовательной оптимизации по каждому из них. Иначе, если проводят оптимизацию по первому критерию , То получают некоторое множество , На которой функция принимает оптимальное (экстремальное) значения. Приняв его за новую допустимую множество, проводят оптимизацию по второму критерию и получают в результате новую допустимую множество . Если продолжить этот процесс, то можно после оптимизации по последнему критерию множество , Которая и будет конечным результатом многокритериальной оптимизации. Отсюда, если на некотором шаге множество сведется к одной точке, процесс оптимизации можно будет закончить, поскольку . Понятно, что как и в случае обычной однокритериальной оптимизации, задача может вообще не иметь развязку.

Третья постановка применяет процесс возведения многих критериев к одному за счет введения априорных весовых коэффициентов для каждого из критериев . В качестве таких коэффициентов могут быть выбраны любые действительные числа. Их значение выбирают, исходя из интуитивного представления степени важности различных критериев: более важные критерии получают веса с большими абсолютными значениями. После установки весов многокритериальная задача сводится к однокритериальной с целевой функцией

Вместо простой линейной комбинации входных критериев могут использоваться и более сложные средства формирования из них нового критерия.

Похожие

Комментарии